一元函数 $y=f(x)$ 中,导数指函数在 $(x_0,y_0)$ 点的变化率，即自变量改变 $\mathrm{\Delta }x$ ， $y$ 变化的速率。

二元函数和一元函数不同的是，二元函数由于存在两个自变量， $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$ 变化比例的不同会将导致 $z$ 的变化速率不同，由此引出了方向导数的概念。导数具体的方向就由 $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$ 两者的比值来确定。

函数在 $x$ 方向上变化 $dx$ ，利用偏导的性质，可得 $z$ 改变 $f_x(x_0,y_0)dx$ 。结合前面的方向向量中 $dx和cos(\alpha )$ 对应关系，可以得到方向导数的公式。

$\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{e}_l}=f_x(x_0,y_0)cos(\alpha )+f_y(x_0,y_0)sin(\alpha )$

不难发现，该计算式是函数在 $x,y$ 上的偏导与方向向量的内积。

对于一个定点而言，函数在该点上的偏导是不变的（就如同一元函数在某点的导数也是不变的），而单位方向向量是可以改变方向的。

由两个向量内积的性质可知，当偏导向量和方向向量同向的时候，乘积最大，此时方向导数最大。

$\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{e}_l}=(f_x(x_0,y_0)，f_y(x_0,y_0))\ast (cos(\alpha ),sin(\alpha ))$

那么我们把这个方向向量就叫做函数在该点的梯度。